Homologia persistente da cobertura de gordura como descritor de acabamento

Homologia persistente aplicada à máscara de gordura de carcaças ovinas como descritor de acabamento, comparada à transformada de scattering. A hipótese: a topologia da cobertura — componentes, buracos, persistência — carrega sinal de grau que área e silhueta não recuperam, e o faz sem treinar uma rede sobre um corpus grande.

Experimentos anteriores esgotaram descritores de área, forma, frequência e estado latente; um oráculo sobre anotação manual mostrou que mesmo segmentação perfeita não recupera conformação em 2D nesta amostra. O requisito passou a ser representação invariante a iluminação/pose e útil em amostra pequena — o que este post avalia. O Apex é o hub de pareamento da série: a máscara de gordura e o grau de acabamento entram no schema verificável; este paper detalha o descritor topológico.

Dois candidatos da literatura satisfazem esses requisitos por construção:

• Homologia persistente: mede a topologia de um campo, isto é, quantos componentes conexos ($H_0$) e quantos buracos ($H_1$) existem, e em que escala nascem e morrem. Contar componentes não depende da luz nem do ângulo, de modo que a medida é invariante a iluminação, rotação, escala e pose.
• Transformada de scattering (Mallat, 2012): uma cascata fixa de wavelets seguida de módulo, invariante a translação, sem pesos treináveis.

A hipótese

O grau de acabamento corresponde, por norma, à cobertura e distribuição da gordura subcutânea. A hipótese do experimento é que o que separa os graus não é a área de gordura, mas a topologia da cobertura.

Uma carcaça magra tende a apresentar gordura em manchas desconexas, com músculo aparecendo entre elas. Isso corresponde a muitos componentes $H_0$ e muitos buracos $H_1$. Uma carcaça com bom acabamento tende a apresentar gordura formando um manto contínuo, com poucos componentes e buracos que se fecham cedo.

A homologia persistente mede exatamente essa distinção. Ambos os métodos foram aplicados apenas à máscara binária de gordura, sem cor e sem intensidade como entrada, o que isola o sinal geométrico invariante.

Método

A filtração topológica usa a transformada de distância com sinal, normalizada pela diagonal da imagem, o que confere invariância à distância de câmera. Sobre o complexo cúbico resultante, calcula-se o diagrama de persistência em $H_0$ e $H_1$. O diagrama é vetorizado de duas formas: por persistence image e por um resumo de 10 estatísticas interpretáveis (contagem, persistência total, máxima e média, e entropia, por dimensão).

A transformada de scattering usa a máscara centrada e normalizada por caixa delimitadora, com $J = 3$ escalas e $L = 8$ orientações. Os coeficientes são promediados espacialmente, o que fornece invariância a translação.

A classificação do acabamento usa validação leave-one-out. Dentro de cada fold, ajusta-se PCA seguido de regressão logística balanceada, sem vazamento entre treino e teste. A métrica é a acurácia balanceada, adequada ao desbalanço entre classes. A significância é avaliada por teste de permutação com 1000 repetições.

Resultados

Classificação do grau de acabamento

A baseline majoritária, para as três classes desbalanceadas, é 0,333.

O resumo topológico de 10 features atinge acurácia balanceada de 0,528, acima da baseline. O valor de $p = 0{,}10$ indica sinal sugestivo, não confirmado no tamanho de amostra disponível.

A transformada de scattering obteve 0,139, abaixo da baseline. A textura multiescala da máscara não capturou o acabamento neste experimento.

A variante completa, com persistence images de 288 dimensões, obteve desempenho inferior ao resumo. Com n = 22, a alta dimensionalidade parece diluir o sinal.

O sinal é apenas área disfarçada?

Graus maiores tendem a ter mais gordura, portanto mais pixels, e naturalmente mais componentes e buracos. Para separar os dois efeitos, calculou-se a correlação parcial controlando a área de gordura.

Parte do sinal é, de fato, área disfarçada: as correlações caem de cerca de 0,50 para cerca de 0,30 quando a área é controlada.

Resta, porém, um resíduo. A feature fat_H1_n, que conta as ilhas de não-gordura dentro da cobertura, perde apenas 0,10 ao controlar a área. Trata-se de uma propriedade de conectividade, aproximadamente independente de quanta gordura existe. Nenhuma correlação parcial atinge $p < 0{,}05$ com n = 22, mas o resíduo sugere informação topológica além da área.

Teste de risco: conformação

A mesma máquina foi aplicada à topologia da união músculo e gordura, com os alvos de conformação. Nenhum alvo supera a baseline trivial, com todos os $p > 0{,}12$.

A topologia, portanto, não resgata a conformação. O resultado é consistente com o veredito do experimento de oráculo, segundo o qual a conformação não está recuperável na fotografia 2D nesta amostra.

Discussão

O ângulo topológico é o primeiro descritor novo do projeto a apresentar sinal de acabamento acima da baseline, com uma representação invariante a iluminação e pose. O sinal é parcialmente independente da área, e o resíduo de fat_H1_n é a evidência disso. Isso sugere que a conectividade da cobertura de gordura carrega informação que a área bruta não contém.

Com n = 22, o resultado é sugestivo mas não significativo ($p = 0{,}10$). É uma direção com evidência inicial, e não uma conclusão estabelecida. O caminho para confirmação não parece ser um modelo mais complexo, mas um número maior de amostras, mantendo a representação enxuta e interpretável.

Três propriedades explicam por que a abordagem se ajusta a uma amostra pequena. Nenhum peso é treinado, pois tanto a homologia persistente quanto o scattering são transformadas fixas; a única capacidade ajustável é o PCA seguido de regressão dentro do fold. A escolha da filtração e da representação injeta conhecimento do domínio no lugar de dados. A invariância a iluminação e pose não é aprendida de exemplos variados, mas é uma propriedade matemática da representação.

Limitações

• Amostra de n = 22. O valor $p = 0{,}10$ reflete o tamanho da amostra, não a ausência de efeito. O sinal pode ser real e ainda assim não significativo nesse tamanho.
• O contraste de grau é dominado por duas classes (n = 12 e n = 8). A terceira classe, com n = 2, é praticamente não classificável.
• A topologia depende da qualidade da máscara de gordura. Aqui foi usada a anotação manual, que constitui um teto. Em operação, o erro de segmentação automática somar-se-ia.
• A invariância à escala pressupõe normalização correta. Pose extrema e oclusão parcial não foram testadas.

Referências

• Mallat, S. (2012). Group invariant scattering. Communications on Pure and Applied Mathematics, 65(10), 1331-1398.
• Garin, A. et al. (2021). PLOS One. Referência de robustez da filtração por distância a ruído pontual.
• Edelsbrunner, H., Harer, J. (2010). Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society.