Uma medida de convexidade invariante e sem treino para conformação de carcaças

Conformação normativa = convexidade do perfil muscular. Em fotos de abatedouro — iluminação, distância e pose sem padrão — uma medida útil precisa ser invariante a essas variações e dispensar treino (amostra anotada pequena). Este post define a convexidade por invariante integral de área: sem nota de avaliador, só o mapa que reproduz a anatomia que a norma descreve.

Não afirmamos predição do grau humano; o alvo é restrito e verificável — o mapa de convexidade alinha-se ao que a tipificação chama de perfil cheio versus afundado. No ecossistema da série, o Apex é o instrumento de pareamento que consome essa medida sobre o dataset verificável.

O problema da curvatura diferencial

A convexidade de um contorno corresponde à sua curvatura. A curvatura diferencial, porém, depende de derivadas de segunda ordem da curva. Sobre um contorno extraído de máscara de pixels, essas derivadas amplificam o ruído de quantização. Cada degrau da máscara vira uma oscilação grande de curvatura. A medida resultante fica dominada pelo ruído de borda.

A alternativa adotada substitui a derivada por uma integral. Em lugar de diferenciar a curva, integra-se uma área ao redor de cada ponto. A integral suaviza o ruído em vez de amplificá-lo.

O invariante integral de área

A construção segue a análise de formas por invariantes integrais (Manay et al., 2006; Pottmann et al., 2009). Seja $\Omega$ a região interior à silhueta da carcaça e $p$ um ponto do contorno. Define-se $A(p, r)$ como a área da parte do disco $D(p, r)$ , de raio $r$ centrado em $p$ , que cai dentro de $\Omega$ :

A(p, r) = \left| \, D(p, r) \cap \Omega \, \right|

Para um contorno suave, a expansão dessa área em raio pequeno é conhecida (Pottmann et al., 2009):

A(p, r) = \frac{\pi}{2} r^{2} - \frac{\kappa}{3} r^{3} + O(r^{4})

O primeiro termo, $\frac{\pi}{2} r^{2}$ , é metade da área do disco. Ele corresponde a um contorno reto, em que metade do disco cai dentro da região. O termo cúbico carrega a curvatura com sinal $\kappa$ , sem qualquer derivação da curva.

Define-se então a convexidade normalizada, adimensional e com sinal:

c(p, r) = \frac{1}{2} - \frac{A(p, r)}{\pi r^{2}}

A substituição da expansão fornece a relação com a curvatura:

c(p, r) = \frac{\kappa r}{3\pi} + O(r^{2})

A leitura de $c$ segue a linguagem da norma. Um valor $c > 0$ indica perfil convexo, associado a músculo cheio. Um valor $c = 0$ indica perfil reto. Um valor $c < 0$ indica perfil côncavo, associado a osso aparente.

O cálculo é direto. A área $A(p, r)$ é obtida, para todos os pontos de uma vez, pela convolução da máscara da região com um disco. O campo resultante é amostrado nos pontos do contorno. Não há laço de integração ponto a ponto.

def ball_area_field(region, r_px):
    """Area do disco(r) intersectado com o interior da regiao, por pixel."""
    k = disk(int(round(r_px))).astype(float)
    return fftconvolve(region.astype(float), k, mode="same"), k.sum()
 
 
def convexity_along_contour(region, r_px):
    """Convexidade com sinal c(p,r) amostrada ao longo do contorno externo."""
    cont = max(find_contours(region.astype(float), 0.5), key=len)
    field, disk_area = ball_area_field(region, r_px)
    A = map_coordinates(field, [cont[:, 0], cont[:, 1]], order=1, mode="nearest")
    c = 0.5 - A / disk_area
    return cont, c

As três invariâncias

A medida atende a três invariâncias exigidas por fotos não padronizadas.

A área da interseção entre o disco e a região não muda sob rotação ou translação da carcaça. A invariância a rotação e translação é, portanto, uma propriedade de construção.

O raio é fixado como uma fração da altura $H$ da carcaça, na forma $r = \rho H$ . Duas carcaças de mesma forma, a distâncias diferentes, produzem então o mesmo $c$ . Isso confere invariância à escala. O experimento trabalha em três frações, $\rho = 0{,}04$ , $\rho = 0{,}07$ e $\rho = 0{,}11$ , do detalhe fino ao perfil grosso.

A medida usa apenas o contorno da máscara segmentada. Ela não usa cor nem intensidade de pixel. Por esse motivo, é invariante à iluminação da cena.

Agregação por região anatômica

A carcaça é suspensa pelos dois jarretes, o que fixa a orientação sem detecção de pose. O terço superior corresponde à perna, o médio ao lombo e o inferior à paleta.

A agregação por região usa apenas o perfil lateral externo, isto é, o pixel de fronteira mais à esquerda e mais à direita de cada linha. Esse recorte exclui o entalhe medial entre as pernas, que é uma concavidade de pose e não de musculosidade.

Resultado

A figura a seguir mostra o mapa de convexidade em três carcaças, ordenadas pela convexidade da perna. Cada painel apresenta a foto atenuada com o contorno colorido por $c$ . O azul indica $c$ positivo e o vermelho indica $c$ negativo.

Mapa do invariante integral de convexidade do perfil em três carcaças ovinas, ordenadas pela convexidade da perna. Azul indica perfil convexo; vermelho indica perfil côncavo. As médias por região usam o perfil lateral externo.

O mapa é consistente com a anatomia. Os jarretes e as pernas aparecem em azul e correspondem a regiões musculosas. O entalhe medial entre as duas pernas aparece em vermelho e corresponde a uma reentrância. A convexidade da perna variou de +0,067 a +0,200 na escala média, ao longo das carcaças.

A figura seguinte estende a medida para as 22 carcaças, ordenadas pela convexidade da perna. A mesma medida foi aplicada a todas, sem ajuste por carcaça.

As 22 carcaças do conjunto, ordenadas pela convexidade da perna, da conformação mais baixa para a mais alta. Azul indica convexo; vermelho indica côncavo. A medida é idêntica para todas, sem treino.

Discussão

Os resultados indicam que a definição de convexidade da norma é mensurável na imagem de superfície. O mapa reproduz a anatomia esperada, e essa correspondência é verificável por inspeção visual, sem nenhum rótulo. A propriedade decorre da construção: a medida transcreve a curvatura com sinal e opera apenas sobre o contorno segmentado.

O alcance dos resultados requer cautela. A correspondência anatômica não estabelece que a medida prediz o grau de conformação de um avaliador. Essa validação exigiria a comparação da medida contra notas corretamente pareadas às imagens, o que não foi possível com os dados disponíveis. A questão permanece aberta.

O acabamento fica fora do escopo desta medida. A espessura da gordura é uma propriedade de profundidade, não observável na projeção de superfície. Esse limite é de modalidade, e não do método.

Limitações

Amostra de n = 22 carcaças ovinas, com anotação manual de tecidos. Nenhuma conclusão de desempenho preditivo é feita nesse tamanho de amostra.
Ausência de validação contra a nota de conformação, por falta de pareamento imagem-grau verificável.
O contorno externo deriva das máscaras manuais de gordura e músculo. Em operação, o erro de segmentação automática somar-se-ia à medida.
O escopo é a forma (conformação). O acabamento não é tratado.

Conclusão

Este registro descreve uma medida de convexidade do perfil da carcaça, baseada em um invariante integral de área. A medida é invariante a rotação, translação, escala e iluminação, e não requer treino. O mapa produzido reproduz a anatomia que a norma de conformação descreve. A ligação da medida à nota de um avaliador, com dados corretamente pareados, permanece como trabalho futuro.

Referências

Manay, S., Cremers, D., Hong, B.-W., Yezzi, A. J., Soatto, S. (2006). Integral invariants for shape matching. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 28(10), 1602-1618.
Manay, S., Hong, B.-W., Yezzi, A. J., Soatto, S. (2004). Integral invariant signatures. Computer Vision - ECCV 2004, LNCS 3024, 87-99.
Pottmann, H., Wallner, J., Huang, Q.-X., Yang, Y.-L. (2009). Integral invariants for robust geometry processing. Computer Aided Geometric Design, 26(1), 37-60.