Projeto óptico de um sensor hiperespectral push-broom para o infravermelho próximo

Projeto óptico e simulação de desempenho de um sensor hiperespectral push-broom para espectroscopia agrícola no NIR ($700$–$1000\,\mathrm{nm}$): arquitetura (fenda → colimador → dispersor → detector), equações de projeto, PSF e razão sinal-ruído. Trabalho de simulação — sem protótipo físico nem medida de bancada.

Neste post fechamos o desenho do instrumento que a série B usa como âncora; os posts seguintes tratam da óptica de entrada (aberração cromática), do que o sensor veria na soja (PROSAIL) e do pipeline espectral.

O princípio push-broom

Um sensor push-broom registra uma linha espacial por vez. A luz da cena é focalizada sobre uma fenda estreita, que seleciona uma linha do terreno. Um colimador transforma o feixe divergente em paralelo, e um elemento dispersivo separa os comprimentos de onda ao longo do eixo perpendicular à fenda. Um detector bidimensional registra, assim, uma dimensão espacial e uma dimensão espectral simultaneamente.

A segunda dimensão espacial vem do movimento da plataforma. O empilhamento das linhas sucessivas forma o cubo hiperespectral.

Especificação dos componentes

Dispersão pela grade

A equação da grade relaciona o ângulo de difração $\beta$ ao comprimento de onda, para ângulo de incidência $\alpha$, ordem $m$ e período $d$:

$$d \left( \sin\alpha + \sin\beta \right) = m \lambda$$

A derivada dessa relação fornece a dispersão angular, que quantifica a separação em ângulo por unidade de comprimento de onda:

$$\frac{d\beta}{d\lambda} = \frac{m}{d \cos\beta}$$

Para a grade de 600 linhas/mm na primeira ordem, a dispersão angular resulta em 0,622 mrad/nm. Multiplicada pela distância focal da lente de câmera, fornece a dispersão linear de 31,1 μm/nm no plano do detector.

Resolução espacial

A distância de amostragem no terreno decorre do passo do pixel $p$, da altitude $H$ e da distância focal da objetiva $f_o$:

$$\mathrm{GSD} = \frac{p \cdot H}{f_o} = \frac{5 \times 10^{-6} \times 10}{50 \times 10^{-3}} = 1{,}0 \ \mathrm{mm}$$

A 10 m de altitude, a amostragem no terreno é de 1,0 mm e a faixa imageada tem 1,0 m de largura.

O limite óptico é dado pelo disco de Airy. A largura a meia altura da função de espalhamento de ponto cresce linearmente com o comprimento de onda. Ela vai de 2,02 μm em 700 nm a 2,88 μm em 1000 nm, passando por 2,45 μm em 850 nm. Todos esses valores são menores que o passo do pixel de 5 μm.

A resolução espacial é, portanto, limitada pelo detector e não pela óptica.

Resolução espectral: o número teórico e o realizável

O poder de resolução de uma grade depende da ordem $m$ e do número de ranhuras iluminadas $N$:

$$R = m N$$

Com o colimador de 25 mm iluminando a grade de 600 linhas/mm, tem-se $N = 15{.}000$ ranhuras, e portanto $R = 15{.}000$ na primeira ordem. Isso corresponde a uma resolução espectral teórica de

$$\Delta\lambda_{\text{teórico}} = \frac{\lambda}{R} = \frac{850}{15{.}000} = 0{,}057 \ \mathrm{nm}$$

Esse valor não é realizável neste sistema. O intervalo de amostragem espectral é fixado pelo detector:

$$\Delta\lambda_{\text{amostragem}} = \frac{1000 - 700}{512} = 0{,}586 \ \mathrm{nm/banda}$$

O sistema é sobreamostrado espectralmente por um fator de aproximadamente 10. Pelo critério de Nyquist, dois pixels são necessários por elemento resolvido, o que limita a resolução utilizável a cerca de 1,17 nm. A resolução prática é, portanto, cerca de vinte vezes pior que o valor teórico da grade.

Há duas razões adicionais para tratar $R = 15{.}000$ como limite superior. O cálculo pressupõe que os 25 mm de abertura do colimador estejam plenamente iluminados, o que a altura de 5 mm da fenda pode não garantir. Além disso, o poder de resolução efetivo tende a ser limitado pela largura da fenda, e não pela grade.

A leitura correta é que a grade está superdimensionada para a amostragem escolhida. Uma grade de 300 linhas/mm atenderia o mesmo intervalo de amostragem, e a sobreamostragem remanescente pode ser aproveitada para redução de ruído por binning espectral e para análise de derivadas.

Transmitância e razão sinal-ruído

A transmitância do caminho óptico no infravermelho próximo é o produto das eficiências dos componentes:

$$T_{\mathrm{NIR}} = 0{,}95 \times 0{,}97 \times 0{,}95 \times 0{,}70 \times 0{,}95 \times 0{,}90 = 0{,}524$$

Os fatores correspondem, na ordem, à objetiva, à reflexão do dicroico, ao colimador, à eficiência da grade, à lente de câmera e à eficiência quântica do detector. O valor de 52,4% pressupõe condições ideais. Implementações práticas tendem a atingir 35 a 40%.

A análise radiométrica, sob radiância típica de vegetação, indica razão sinal-ruído entre 85 e 180 para 10 ms de integração. O valor menor ocorre na região do red edge, onde a reflectância da vegetação é baixa, e o maior no platô do infravermelho próximo. A dependência da razão sinal-ruído com a raiz quadrada do tempo de integração é característica do regime limitado por ruído de fóton.

Uma razão sinal-ruído acima de 100 é adequada para o cálculo de índices de vegetação e para a análise de derivadas do red edge. A correção atmosférica requer valores acima de 300, fora do alcance desta configuração.

Resumo do desempenho simulado

Limitações

• O trabalho é de simulação. Não há protótipo físico nem validação de bancada.
• O poder de resolução de 15.000 pressupõe iluminação plena do colimador. A geometria da fenda pode não satisfazer essa condição.
• A resolução espectral utilizável é limitada pela amostragem, não pela grade.
• A transmitância de 52,4% pressupõe condições ideais dos componentes.
• Os modelos de aberração adotados são simplificados.
• Os efeitos atmosféricos não foram incorporados à análise radiométrica.

Referências

• Born, M., Wolf, E. (1999). Principles of Optics. 7th ed. Cambridge University Press.
• Palmer, C. (2005). Diffraction Grating Handbook. Newport Corporation.